1) CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES
REGLA: El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
EJEMPLOS:
1) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
2) (4a + 5b2) = (4a)2 + 2 (4a)(5b2) + (5b2)2 = 14a2 + 40 ab2 + 25 b4
3) (3a2 + 5x3)2 = (3a2)2 + 2(3a2)(5x3) + (5x3)2 = 9a4 + 30 a2x3 + 25x6
EJERCICIOS:
1) (m + 3)2 =
2) (5 + x)2 =
3) (6a + b)2 =
4) (9 + 4m)2 =
5) (7x + 11)2 =
6) (x + y)2 =
7) (1 + 3x2)2 =
8) (2x + 3y)2 =
9) (a2x + by2)2 =
10) (3a3 + 8b4)2 =
11) (4m5 + 5n6)2 =
12) (7a2b3 + 5x4)2 =
13) (4ab2 + 5xy3)2 =
14) (8x2y + 9m3)2 =
15) (x10 + 10y12)2 =
2. CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS NUMEROS
REGLA: El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
EJEMPLOS:
1) (a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - 2ab + b2
2) (4a - 5b2) = (4a)2 - 2 (4a)(5b2) + (5b2)2 = 14a2 - 40 ab2 + 25 b4
3) (3a2 - 5x3)2 = (3a2)2 - 2(3a2)(5x3) + (5x3)2 = 9a4 - 30 a2x3 + 25x6
EJERCICIOS:
1) (m - 3)2 =
2) (5 - x)2 =
3) (6a - b)2 =
4) (9 - 4m)2 =
5) (7x - 11)2 =
6) (x - y)2 =
7) (1 - 3x2)2 =
8) (2x - 3y)2 =
9) (a2x - by2)2 =
10) (3a3 - 8b4)2 =
11) (4m5 - 5n6)2 =
12) (7a2b3 - 5x4)2 =
13) (4ab2 - 5xy3)2 =
14) (8x2y - 9m3)2 =
15) (x10 - 10y12)2 =
ALGEBRA
Todos los días encontramos personas que le "temen" a las matemáticas, sin embargo, estas no son tan complicadas. Es necesario romper con esta creencia tan difundida y arraigada en el pensamiento de la gente, principalmente de los estudiantes de cualquier nivel. ¿Cuantos genios matemáticos se habrán perdido por falta de alguien que los encausará?
sábado, 8 de octubre de 2011
División de Polinomio entre Polinomio
1) Dividir a2 + 2a - 3 entre a + 3
2) Dividir a2 - 2a - 3 entre a + 1
3) Dividir x2 - 20 + x entre x + 5
4) Dividir m2 - 11m + 30 entre m - 6
5) Dividir x2 + 15 - 8x entre 3 - x
6) Dividir 6 + a2 + 5a entre a + 2
7) Dividir 6x2 - xy - 2 y2 entre y + 2x
8) Dividir -15 x2 - 8y2 + 22 xy entre 7x - 3
9) Dividir 5a2 + 8ab - 21 b2 entre a + 3b
10) Dividir 14x2 - 12 + 22x entre 7x - 3
11) Dividir -8a2 + 12 ab - 4b2 entre b - a
12) Dividir 5n2 - 11mn + 6m2 entre m - n
13) Dividir 32 n2 - 54 m2 + 12 mn entre 8n - 9m
14) Dividir -14y2 + 33 + 71y entre -3 - 7y
15) Dividir x3 - y3 entre x - y
16) Dividir a3 + 3ab2 - 3a2b - b3 entre a - b
17) Dividir x4 - 9x2 + 3 + x entre x + 3
18) Dividir a4 + a entre a + 1
19) Dividir m6 - n6 entre m2 - n2
20) Dividir 2x4 - x2 - 3 + 7x entre 2x + 3
21) Dividir 3y5 + 5y2 - 12y + 10 entre y2 + 2
22) Dividir am4 - am - 2a entre am + a
23) Dividir 12 a3 + 33 ab2 - 25 a2b - 10b3 entre 4a - 5b
24) Dividir 15 m5 - 9m3n2 - 5m4n + 3m2n3 + 3mn4 - n5 entre 3m - n
2) Dividir a2 - 2a - 3 entre a + 1
3) Dividir x2 - 20 + x entre x + 5
4) Dividir m2 - 11m + 30 entre m - 6
5) Dividir x2 + 15 - 8x entre 3 - x
6) Dividir 6 + a2 + 5a entre a + 2
7) Dividir 6x2 - xy - 2 y2 entre y + 2x
8) Dividir -15 x2 - 8y2 + 22 xy entre 7x - 3
9) Dividir 5a2 + 8ab - 21 b2 entre a + 3b
10) Dividir 14x2 - 12 + 22x entre 7x - 3
11) Dividir -8a2 + 12 ab - 4b2 entre b - a
12) Dividir 5n2 - 11mn + 6m2 entre m - n
13) Dividir 32 n2 - 54 m2 + 12 mn entre 8n - 9m
14) Dividir -14y2 + 33 + 71y entre -3 - 7y
15) Dividir x3 - y3 entre x - y
16) Dividir a3 + 3ab2 - 3a2b - b3 entre a - b
17) Dividir x4 - 9x2 + 3 + x entre x + 3
18) Dividir a4 + a entre a + 1
19) Dividir m6 - n6 entre m2 - n2
20) Dividir 2x4 - x2 - 3 + 7x entre 2x + 3
21) Dividir 3y5 + 5y2 - 12y + 10 entre y2 + 2
22) Dividir am4 - am - 2a entre am + a
23) Dividir 12 a3 + 33 ab2 - 25 a2b - 10b3 entre 4a - 5b
24) Dividir 15 m5 - 9m3n2 - 5m4n + 3m2n3 + 3mn4 - n5 entre 3m - n
lunes, 5 de septiembre de 2011
Valor numérico de una expresión algebraíca
El valor numérico de una expresión algebraíca es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores dados y efectuar después las operaciones indicadas.
Ejemplos:
1) Encontrar el valor numérico de 5ab cuando a= 1 y b= 2
sustituyendo el valor en las literales obtenemos: 5(1)(2) = 10
entonces el valor es 5ab = 10 cuando a= 1 y b= 2
2) ¿Cual será el valor numérico de a3b3c4 cuando a= 2; b=3 y c= 1/2
sustituyendo el valor en las literales obtenemos: (2)2 x (3)3 x (1/2)4 = 4 x 27 x 1/16 = 27/4
Ejercicios: a = 1; b = 2; c = 3; m = 1/2; n = 1/3; p = 1/4
1) 3ab =
2) 5a2b3 c =
3) b2 m n =
4) 24 m2 n3 p =
5) (2/3) a4 b2 m3 =
6) (7/12) c3 p2 m =
7) mb nc pa =
8) (2bc2)1/2 =
9) (4a) / (3bc) =
10) 2m / (n2)1/2 =
11) (a + b) c - d =
12) (a + b) (b - a) =
13) (b - m)(c - n) + 4a2 =
14) (2m + 3n) ( 4p + b2) =
15) (4m + 8p) (a2 + b2)(6n - p) =
Ejemplos:
1) Encontrar el valor numérico de 5ab cuando a= 1 y b= 2
sustituyendo el valor en las literales obtenemos: 5(1)(2) = 10
entonces el valor es 5ab = 10 cuando a= 1 y b= 2
2) ¿Cual será el valor numérico de a3b3c4 cuando a= 2; b=3 y c= 1/2
sustituyendo el valor en las literales obtenemos: (2)2 x (3)3 x (1/2)4 = 4 x 27 x 1/16 = 27/4
Ejercicios: a = 1; b = 2; c = 3; m = 1/2; n = 1/3; p = 1/4
1) 3ab =
2) 5a2b3 c =
3) b2 m n =
4) 24 m2 n3 p =
5) (2/3) a4 b2 m3 =
6) (7/12) c3 p2 m =
7) mb nc pa =
8) (2bc2)1/2 =
9) (4a) / (3bc) =
10) 2m / (n2)1/2 =
11) (a + b) c - d =
12) (a + b) (b - a) =
13) (b - m)(c - n) + 4a2 =
14) (2m + 3n) ( 4p + b2) =
15) (4m + 8p) (a2 + b2)(6n - p) =
jueves, 1 de septiembre de 2011
Reducción de términos semejantes
1) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.
negativos: - 8a - 6a = - 14a
reduciendo términos resultantes: 27 a - 14 a = 13a
reducción de negativos: - 2/5 - 4 = - 2/5 - 20/5 = - 22/5 bx2
reduciendo términos resultantes: 39/20 bx2 - 22/5 bx2 = 39/20 bx2 - 88/20 bx2 = - 49/20 bx2
reducir término a3b2 8a3b2 + 6a3b2 - a3b2 = 13 a3b2
reducir término ab5 -5ab5 - 6ab5 = - 11ab5
reducir término independientes - 15 + 8 = 7
El resultado será: - 5a4b3 + 13 a3b2- 11ab5 + 7
- Regla: Se suman los coeficientes, poniendo delante de la suma el mismo signo que tienen toodos y a continuación se escribe la parte literal.
- 3a + 2a = 5a
- - 5b - 7b = - 12b
- - a2 - 9a2 = - 10 a2
- Realiza los siguientes ejercicios:
- x + 2x =
- 8a + 9a =
- - b - 5b =
- ax + 3ax +8ax =
- - x - 2/3 x - 1/6 x =
- - x2y - 8x2y - 9x2y - 20x2y
- Regla: Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
- Realiza los siguientes ejercicios:
- 8a - 6a =
- 15 ab - 9 ab =
- - 14 xy + 32 xy =
- 1/2 a - 2/4 a =
- 5/6 a2b - 5/12 a2b =
- 7 x2y - 5 x2y =
- 4 a2 - 1/3 a2 =
- Regla: Se reduce a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior.
- Reducir 5a - 8a + a - 6a + 21a = 13 a
negativos: - 8a - 6a = - 14a
reduciendo términos resultantes: 27 a - 14 a = 13a
- Reducir - 2/5 bx2 + 1/5 bx2 + 3/4 bx2 - 4bx2 + bx2 = - 49/20 bx2
reducción de negativos: - 2/5 - 4 = - 2/5 - 20/5 = - 22/5 bx2
reduciendo términos resultantes: 39/20 bx2 - 22/5 bx2 = 39/20 bx2 - 88/20 bx2 = - 49/20 bx2
- Realiza los siguientes ejercicios:
- 9a - 3a +6 5a =
- 12 mn - 23 mn - 5mn =
- - 11ab - 15ab + 26ab =
- 2/3 y + 1/3 y - y =
- 3/8 a2b + 1/4 a2b - a2b =
- 7ab + 21ab - ab - 80ab =
- 105 a3 - 464 a3 + 58a3 + 301 a3 =
- 3/5 a2b - 1/6 a2b + 1/3 a2b - a2b =
- Reducir el polinomio 5a - 6b + 8c + 9a - 20c - b + 6b - c = 14a - b - 13c
reducir términos en a = 5a + 9a = 14a
reducir términos en b = - 6b - b + 6b = - b
reducir términos en c = 8c - 20c - c = - 13 c
- Reducir el polinomio: 8a3b2 + 4a4b3 6a3b2 - a3b2 - 9a4b3 - 15 - 5ab5 + 8 - 6ab5
reducir término a3b2 8a3b2 + 6a3b2 - a3b2 = 13 a3b2
reducir término ab5 -5ab5 - 6ab5 = - 11ab5
reducir término independientes - 15 + 8 = 7
El resultado será: - 5a4b3 + 13 a3b2- 11ab5 + 7
- Realiza los siguientes ejercicios:
- 7a - 7b + 6a - 4b =
- a + b - c - b - c + 2c - a =
- 5x - 11y - 9 + 20x - 1 - y =
- - 6m + 8n + 5 - m - n - 6m - 11 =
- - 81x + 19y - 30z + 6y + 80x + x - 25y =
- - 71a3b - 84a4b2 + 50a3b + 84a4b2 - 45a3b + 18a3b =
- m2 + 71mn - 14m2 - 65mn + m3 - m2 - 115 m2 + 6m3 =
- x4y - x3y2 + x2y - 8x4y - x2y - 10 + x3y2 - 7x3y2 - 9 + 21x4y - y3 + 50 =
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